Linaje toponímico de comprobada antigüedad, probada nobleza infanzona y preclaro relieve cívico y cultural a ambas orillas del Atlántico, originario del Señorío de Vizcaya durante la Baja Edad Media, desde donde sus ramas se proyectaron hacia otras demarcaciones de la Corona de Castilla y, con singular pujanza dinástica e intelectual, hacia el virreinato de la Nueva España y los Estados Unidos Mexicanos.

Voz de naturaleza toponímica euskérica pura articulada sobre el elemento léxico asuntze / asun (ortiga, o bien derivaciones oronímicas afines a zarzales o matorrales pedregosos) y el sustantivo solo (campo cultivado, prado, heredad o pieza de tierra), con el significado preciso de «heredad o campo de ortigas» o «prado cercado del zarzal»; adoptada tempranamente por los señores del infanzonazgo solariego para fijar su estatus y procedencia foral, consolidándose en protocolos notariales, libros sacramentales y repertorios nobiliarios bajo las variantes gráficas Asúnsolo, Asunsolo, Asonsolo, Azunsolo y la arcaica Azunzolo.

Las crónicas de armas y la documentación foral sitúan la casa matriz e infanzona de este apellido en el Señorío de Vizcaya, con primitivos asientos radicados en la Merindad de Durango y en términos comarcales de Bermeo y Busturia, donde sus poseedores figuran como señores de caseríos de vieja fábrica, partícipes en las juntas y cofradías nobles del territorio, y vecinos presentes en los concejos de república; a lo largo de los siglos XVIII y XIX, calificados caballeros de este linaje pasaron a la Nueva España para servir en la administración virreinal, el ejército real y el laboreo minero, arraigando con extraordinario prestigio patrimonial y social en el norte y centro de México —señaladamente en los estados de Durango y Chihuahua y en la Ciudad de México—, donde constituyeron un patriciado de notable peso político e intelectual que dio figuras capitales a la historia cultural mexicana, tales como el monumental escultor y académico Ignacio Asúnsolo y la célebre actriz de proyección internacional de la Época de Oro cinematográfica María de los Dolores Asúnsolo y López Negrete (Dolores del Río).

Presenta una frecuencia reducida y de marcada distinción en los nomenclátores contemporáneos peninsulares, concentrándose históricamente en el País Vasco (con arraigo primordial en Vizcaya) y la Comunidad de Madrid, mientras que ostenta una relevante notoriedad genealógica y social en los Estados Unidos Mexicanos y en comunidades hispanas de los Estados Unidos de América.

Las constancias documentales del linaje son de gran calidad y se custodian en los libros sacramentales de las parroquias históricas del Duranguesado y de Bermeo (conservados en el Archivo Histórico Eclesiástico de Bizkaia), en los protocolos notariales comarcales del Archivo Foral de Bizkaia, en los registros de acuerdos e infanzonías de las Juntas Generales de Guernica, en los pleitos de la Sala de Hijosdalgo de la Real Chancillería de Valladolid, en los fondos de licencias de pasajeros y Consulados del Archivo General de Indias en Sevilla, así como en las secciones civil, notarial y parroquial del Archivo General de la Nación en la Ciudad de México y los archivos estatales de Durango y Chihuahua.

En virtud del principio de hidalguía universal inherente a los naturales de los solares de Vizcaya conforme a su Fuero Viejo y Fuero Nuevo, todos los descendientes legítimos de esta casa gozaron de la condición legal de hijosdalgo notorios de sangre y de solar conocido, libres del pago de pechos y levas ordinarias y habilitados para el uso legítimo de escudo de armas; asimismo, justificaron su limpieza de linaje y nobleza ante las justicias ordinarias y corregimientos para el ejercicio de empleos capitulares y alcaldías concejiles, así como para el acceso a la oficialidad militar y la administración de la Real Hacienda en Indias.

Tuvo su casa solar matriz e inmemorial en la Merindad de Durango y en el término de Bermeo (Vizcaya), de la que dimanaron casales secundarios hacia valles limítrofes y la conspicua casa patricia fundada en tierras de Durango y Chihuahua (México).

A lo largo de los siglos modernos y contemporáneos, el linaje mantuvo incólume su prestigio originario foral a la vez que inscribió su nombre de manera indeleble en las artes plásticas, la cinematografía y la alta vida civil mexicana.

En campo de sinople, sobre rocas, un castillo, de oro.