El apellido Igai (registrado en las fuentes históricas vasconavarras e hispánicas bajo las variantes Igai, Igay, Irigai, Irigay, Yrigai, Yrigay, Iri-Igai e Iri-Igay, estandarizado en la normativa euskérica académica contemporánea como Irigai e Igai) es un insigne linaje noble de origen toponímico, oikónimo, euskérico y de casa solariega, procedente del Reino de Navarra —con su solar matriz más célebre y primitivo radicado en el lugar de Irigai / Igai (valle de Arce, merindad de Sangüesa)—.

Surgió en la Baja Edad Media para filiar y designar a los caballeros e hijosdalgo posesores del palacio o casona señorial de Irigai ("los del solar de Irigai / Igai" / "Palacio Irigai"), adoptándose como oikónimo del solar y fijándose como apellido hereditario de linaje.

En la tradición oral y en la documentación manuscrita alternó la forma completa Irigai / Irigay con la aféresis castellana o bajonavarra Igai / Igay por pérdida de la vocal/sílaba inicial Iri-.

Tuvo su célebre palacio matriz en el lugar de Irigai (Valle de Arce, Navarra) y casonas hidalgas en el Valle de Salazar, Aoiz, Sangüesa y la Cuenca de Pamplona, extendiéndose tempranamente por el Territorio Histórico de Guipúzcoa, el Reino de Aragón (Cinco Villas), la Corona de Castilla y el ámbito hispanoamericano a partir del siglo XVIII (destacando una relevante presencia en Argentina, México, Chile, Colombia y Uruguay).

Registrado en los procesos de la Real Corte Mayor y del Consejo Real de Navarra, en los padrones de hidalguía del Archivo General de Navarra, en las matrículas sacramentales de la diócesis de Pamplona, en los expedientes de probanza de la Real Chancillería de Valladolid y en las licencias de pasaje a Indias del Archivo General de Indias.

Los miembros del linaje Igai / Irigay ostentaron la condición de hijosdalgo de sangre y de solar conocido en el Reino de Navarra y el valle de Arce, gozando de la hidalguía universal del territorio, exención de pechas e inmunidad tributaria.

Diversas ramas probaron su nobleza, filiación y limpieza de sangre ante la Corte Mayor de Navarra y ante la Real Chancillería de Valladolid para el reconocimiento de su hidalguía, la obtención de Reales Cartas Executorias e insaculación en los oficios concejiles de representación noble.

Los del valle de Oyarzun, según Juan Carlos de Guerra, usan: Escudo partido: 1º, de azur, con un castillo de plata, y 2º, en campo de plata, un brazo armado moviente del flanco siniestro, con una espada desnuda en la mano; medio cortado en campo de sinople con un oso de sable.

Otros del valle de Oyarzun, según Juan Carlos de Guerra, usan: Escudo partido: 1º, de azur, con un castillo de oro, y 2º, en campo de plata, un brazo armado moviente del flanco siniestro, con una espada desnuda en la mano; medio cortado en campo de sinople con un oso de sable.